В какой треугольник можно вписать окружность. Вписанная и вневписанная окружность. Визуальный гид с примерами (2020). Свойство окружности, которой принадлежат вершины треугольника
Определение 2
Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.
Рисунок 1. Вписанная окружность
Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)
Теорема 1
В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK.\ $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M\ и\ L$. Так как $OM,OK\ и\ OL$ - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.
Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Определение 3
Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).
Определение 4
Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.
Рисунок 3. Описанная окружность
Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)
Теорема 2
Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)
Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2
Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.
Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна ${180}^0$.
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна ${180}^0$, то около него можно описать окружность.
Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности
Пример 1
В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.
Решение.
Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:
Рисунок 5.
Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора ${BM}^2={BC}^2-{MC}^2,\ BM=\sqrt{{BC}^2-\frac{{AC}^2}{4}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$. $OM=OH=r$ -- искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4\ см$. Следовательно, $BH=5-4=1\ см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:
\[{(3-r)}^2=r^2+1\] \ \ \
Ответ: $\frac{4}{3}$.
Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник (рис. 302). Напомним, что ее центр О помещается на пересечении биссектрис внутренних углрв треугольника. Отрезки ОА, ОВ, ОС, соединяющие О с вершинами треугольника ABC, разобьют треугольник на три треугольника:
АОВ, ВОС, СОА. Высота каждого из этих треугольников равна радиусу , и потому их площади выразятся как
Площадь всего треугольника S равна сумме этих трех площадей:
где - полупериметр треугольника. Отсюда
Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.
Для получения формулы для радиуса описанной окружности треугольника докажем следующее предложение.
Теорем а: В любом треугольнике сторона равна диаметру описанной окружности, умноженному на синус противолежащего угла.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и описанную вокруг него окружность, радиус которой обозначим через R (рис. 303). Пусть А - острый угол треугольника. Проведем радиусы ОВ, ОС окружности и опустим из ее центра О перпендикуляр ОК на сторону ВС треугольника. Заметим, что угол а треугольника измеряется половиной дуги ВС, для которой угол ВОС является центральным углом. Отсюда видно, что . Поэтому из прямоугольного треугольника СОК находим , или , что и требовалось доказать.
Приведенный рис. 303 и рассуждение относятся к случаю острого угла треугольника; нетрудно было бы провести доказательство и для случаев прямого и тупого угла (читатель это проделает самостоятельно), но можно использовать теорему синусов (218.3). Так как должно быть откуда
Теорему синусов записывают также в. виде
и сравнение с формой записи (218.3) дает для
Радиус описанной окружности равен отношению произведения трех сторон треугольника к его учетверенной площади.
Задача. Найти стороны равнобедренного треугольника, если его вписанная и описанная окружности имеют соответственно радиусы
Решение. Напишем формулы, выражающие радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника:
Для равнобедренного треугольника с боковой стороной и основанием площадь выражается формулой
или, сократив дробь на отличный от нуля множитель , будем иметь
что приводит к квадратному уравнению относительно
Оно имеет два решения:
Подставив вместо его выражения в любое из уравнений для или R, найдем окончательно два ответа к нашей задаче:
Упражнения
1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делнт гипотенузу в отношении Найти отношение каждого из катетов к гипотенузе.
2. Основания равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равны а и b. Найти радиус окружности.
3. Две окружности касаются внешним образом. Их общие касательные наклонены к линии центров под углом 30°. Длина отрезка касательной между точками касания равна 108 см. Найти радиусы окружностей.
4. Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. Найти площадь треугольника, сторонами которого служат высота и медиана данного треугольника, проведенные из вершины прямого угла, и отрезок гипотенузы между точками их пересечения с гипотенузой.
5. Стороны треугольника равны 13, 14, 15. Найти проекцию каждой из них на две остальные.
6. В треугольнике известны сторона и высоты Найти стороны b и с.
7. Известны две стороны треугольника и медиана Найти третью сторону треугольника.
8. Даны две стороны треугольника и угол а между ними: Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.
9. Известны стороны треугольника а, b, с. Чему равны отрезки, на которые они разбиваются точками касания вписанной окружности со сторонами треугольника?
Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны .
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .
Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Окружность, описанная около треугольника
Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
| Фигура | Рисунок | Свойство |
| Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |  |
пересекаются в одной точке
. |
 |
|
|
| Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного внутри треугольника. | |
| Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности |  | Центром описанной около прямоугольного
середина гипотенузы
. |
| Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности |  | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. |
 |
|
|
| Площадь треугольника |  | S = 2R 2 sin A sin B sin C , |
| Радиус описанной окружности | Для любого треугольника справедливо равенство: |
,| Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
Все серединные перпендикуляры , проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке . |
| Окружность, описанная около треугольника |
Около любого треугольника можно описать окружность . Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. |
| Центр описанной около остроугольного треугольника окружности |
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. |
| Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности |
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы . |
| Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности |
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. |
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности. |
| Площадь треугольника |
Для любого треугольника справедливо равенство: S = 2R 2 sin A sin B sin C , где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. |
| Радиус описанной окружности |
Для любого треугольника справедливо равенство: где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. |
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство.
Видеоурок 2: Окружность, описанная около треугольника
Лекция: Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника
Около некоторых треугольников можно описать окружность, а в некоторые можно окружность вписать.
Вписанный треугольник
Если все вершины некоторого треугольника лежат на окружности, то такой треугольник называется вписанным .
Обратите внимание, если некоторый треугольник вписан в окружность, то все прямые, которые соединяют центр окружности с вершинами треугольника, равны. Более того, они имеют величину радиуса.
Существуют несложные формулы, позволяющие определить стороны треугольника по известному радиусу окружности, или же наоборот определить радиус по сторонам:
Если в окружность вписан правильный треугольник, то формулы упрощаются. Хотелось бы напомнить, что правильным называется тот треугольник, у которого все стороны равны:
Формула для нахождения площади правильного треугольника, если он вписан в окружность:
Если некоторый треугольник располагается внутри окружности, то существует правило размещения центра окружности.
Если в окружность вписали любой остроугольный треугольник, то центр этой окружности будет находится внутри треугольника:
Если в окружность вписан правильный треугольник, то центр окружности будет считаться центром треугольником, а также точкой пересечения его высот.
Если в окружность вписанный прямоугольный треугольник, то центр окружности будет лежать на середине гипотенузы:
Если в окружность вписан тупоугольный треугольник, то центр окружности будет находится за пределами треугольника:
Вписанная окружность
Окружность можно назвать вписанной в том случае, если она касается всех сторон треугольника в одной точке.
Для треугольника, в который вписана окружность, существует некоторое правило.
Эта статья содержит минимальный набор сведений об окружности, необходимый для успешной сдачи ЕГЭ по математике.
Окружностью называется множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от данной точки, которая называется центром окружности.
Для любой точки , лежащей на окружности выполняется равенство (Длина отрезка равна радиусу окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности называется хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром окружности ().
Длина окружности:
Площадь круга:
Дуга окружности:
Часть окружности, заключенная между двумя ее точками называется дугой окружности. Две точки окружности определяют две дуги. Хорда стягивает две дуги: и . Равные хорды стягивают равные дуги.
Угол между двумя радиусами называется центральным углом :
Чтобы найти длину дуги , составляем пропорцию:
а) угол дан в градусах:
б) угол дан в радианах:
Диаметр, перпендикулярный хорде , делит эту хорду и дуги, которые она стягивает пополам:
Если хорды и окружности пересекаются в точке , то произведения отрезков хорд, на которые они делятся точкой равны между собой:
Касательная к окружности.
Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку называется касательной к окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки называется секущей.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Если из данной точки проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке:
Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть :
Следствие: произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть :
Углы в окружности.
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом . Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:
∠∠
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:
∠∠∠
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны :
Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду равны или их сумма равна
∠∠
Вершины треугольников с заданным основанием и равными углами при вершине лежат на одной окружности:
Угол между двумя хордами (угол с вершиной внутри окружности) равен полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри данного угла и внутри вертикального угла.
∠ ∠∠
(⌣ ⌣ )
Угол между двумя секущими (угол с вершиной вне окружности) равен полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла.
∠ ∠∠(⌣ ⌣ )
Вписанная окружность.
Окружность называется вписанной в многоугольник , если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.
Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.
Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле
здесь - полупериметр многоугольника, - радиус вписанной окружности.
Отсюда радиус вписанной окружности равен
Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны . Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:
В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.
Радиус вписанной окружности
равен . Здесь 
Описанная окружность.
Окружность называется описанной около многоугольника , если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .
Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:
Радиус описанной окружности
вычисляется по формулам:
Где - длины сторон треугольника, - его площадь.
Теорема Птолемея
Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:
